${\tan }^{-1}\sqrt{3}$ এর মান নিচের কোনটি? 

প্রদত্ত রাশিটি হলো: ${\tan }^{-1}\sqrt{3}$

আমরা জানি, যদি $\tan \theta =x$ হয়, তাহলে $\theta ={\tan }^{-1}x$। অর্থাৎ, ${\tan }^{-1}x$ দ্বারা সেই কোণকে বোঝানো হয় যার ট্যানজেন্ট (tangent) এর মান $x$।

এখানে, আমাদের ${\tan }^{-1}\sqrt{3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। এর অর্থ হলো, আমরা এমন একটি কোণ খুঁজছি যার ট্যানজেন্ট এর মান $\sqrt{3}$।

আমরা ত্রিকোণমিতিক কোণগুলির মান থেকে জানি যে:

    
• $\tan 60°=\sqrt{3}$
    
• রেডিয়ান এককে, $60°=\frac{\pi }{3}$

সুতরাং, ${\tan }^{-1}\sqrt{3}$ এর মান হলো $60°$ অথবা $\frac{\pi }{3}$।

প্রদত্ত বিকল্পগুলো হলো:

    
1. $12$
    
2. $\frac{1}{\sqrt{3}}$
    
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    
4. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

এই বিকল্পগুলির কোনটিই কোণের মান (যেমন $60°$ বা $\frac{\pi }{3}$) নির্দেশ করে না। এগুলি বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংখ্যাসূচক মান। যেহেতু ${\tan }^{-1}\sqrt{3}$ এর মান একটি কোণ হবে, তাই প্রদত্ত অপশনগুলির মধ্যে সরাসরি সঠিক কোনো উত্তর নেই।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সরাসরি সঠিক নয়। প্রশ্নটি সম্ভবত $\sin \left({\tan }^{-1}\sqrt{3}\right)$ অথবা $\cos \left({\tan }^{-1}\sqrt{3}\right)$ এর মান জানতে চেয়েছিল। যদি তা হতো, তাহলে:

    
• যদি $\theta ={\tan }^{-1}\sqrt{3}$ হয়, তাহলে $\theta =60°$।
    
• অতএব, $\sin \left({\tan }^{-1}\sqrt{3}\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (যা অপশন ৩ এ আছে)।
    
• এবং $\cos \left({\tan }^{-1}\sqrt{3}\right)=\cos 60°=\frac{1}{2}$ (যা অপশন ১ এ আছে)।

কিন্তু প্রশ্নে যেহেতু সরাসরি ${\tan }^{-1}\sqrt{3}$ এর মান চাওয়া হয়েছে এবং অপশনগুলো কোণ নয়, তাই প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ বা ত্রুটিপূর্ণ।